도달거리를 최대로 하는 발사 각도

수천 년 동안 스포츠 경기나 전쟁에서 사람들은 투사체 운동을 통해 물체를 멀리 날려 보내려고 노력했다. 포탄, 화살, 총알, 창, 농구공 같은 것들이 바로 그런 물체들이다.

투사체가 날아가는 궤도는 포물선이다. 물체가 땅에 떨어지기 전까지 날아가는 수평거리를 도달거리라고 한다. 많은 때에 물체를 멀리 날려 보내는 것이 유리한다. 폭탄을 멀리 날려 보낼수록 더 먼 곳에서도 적을 공격할 수 있고, 창을 멀리 던질수록 금메달을 받을 확률이 커진다.

도달거리를 최대로 하는 발사 각도

1. 에너지 교환

실제로 투사체의 운동은 다양한 가지 요소가 관여하기 때문에 매우 복잡한다. 그러나 중력을 제외한 공기의 마찰력과 같은 다른 힘들을 무시 하다 보면 투사체 운동을 간단히 다룰 수 있다. 테니스공을 던진다고 상상해 보자. 테니스공은 땅과 이루는 각도가 0도에서 90도까지 어떤 각도에서도 던질 수 있다. 90도 각도로 던지면 수평 도달거리는 0이 될 것이다.

공이 똑바로 하늘로 올라갔다가 제자리에 떨어질 것이기 때문이다. 공이 하늘로 올라갔다가 다시 떨어지는 동안 에너지의 전환이 일어난다. 공은 던지는 속도로 운동에너지를 가지고 하늘로 올라가기 시작한다. 높이 올라감에 따라 운동에너지는 중력에 의한 위치에너지로 바뀐다. 공이 가장 높은 지점에 도달하다 보면 모든 운동에너지를 잃고 순간적으로 멈춘다. 그러나 이내 다시 아래로 떨어지면서 위치에너지가 운동에너지로 바뀐다.

90도보다 작은 각도로 던진 물체가 날아가는 궤적은 포물선이다. 포물선의 성질 중 하나는 최고점을 중심으로 대칭이라는 것이다. 다시 말해 최고점까지 도달하는 경로는 최고점에서 땅까지 도달하는 경로를 반대로 반복한다. 중력이 공의 수직 방향 속도만을 변화시키므로 수평 방향 속력은 일정하게 유지돼요. 즉. 도달거리를 최대로 하기 위해서는 충분한 높이에 도달할 수 있는 수직 방향 속도를 가지면서도 수평 방향 속도도 충분히 확보할 수 있어야 한다. 수학적 분석을 통해 우리는 가장 멀리 도달할 수 있는 발사 각도는 0도와 90도의 중간인 45도임을 알았다.

그러나 이것은 물체를 떨어지는 것과 같은 높이에서 던질 때만 사실이다. 땅에서 발로 찬 공이나 받침대에서 뛰는 멀리뛰기 선수에게는 이각도가 가장 유리그렇지만 어깨 높이에서 물체를 던지는 농구공이나 창던지기의 때에는 가장 유리한 각도가 아니다. 이런 때에 물체를 가장 멀리 날려 보낼 수 있는 각도는 45도보다 몇 도 작은 각도이다. 많은 경우 공기의 저항이 수직 방향의 운동과 함께 수평 방향의 운동에 영향을 주기 때문에 공기의 저항을 무시할 수 없다. 이런 때에는 물체가 가장 멀리 날아가는 발사 각도가 더 작아진다.

테니스공의 파장(m)

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질량 1g의 에너지(J) 와 포톤(광자)의 정지질량(kg)

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